Что такое математика?

При всём том времени, которое в школах уделяется преподаванию математики, очень мало тратится на то, чтобы объяснить, о чём этот предмет (если вообще тратится). Вместо этого акцент делается на изучении и применении различных процедур для решения математических задач. Это всё равно что при объяснении футбола, говорить, что он состоит в выполнении серии маневров, чтобы забить мяч в ворота. Оба варианта точно описывают различные ключевые особенности, но они упускают из виду, "что" и "почему" в общей картине.

Учитывая требования учебной программы, я могу понять, как это происходит, но я считаю это ошибкой. В современном мире общее понимание природы, масштабов, мощи и ограничений математики особенно ценно для любого гражданина. За годы работы я встретил много людей, которые получили дипломы по таким математически насыщенным дисциплинам, как инженерное дело, физика, информатика и даже сама математика, и которые рассказывали мне, что за всё время обучения в школе и университете они так и не получили хорошего представления о том, что такое современная математика. Только на более позднем этапе жизни они иногда улавливают истинную природу этого предмета и начинают ценить его всепроникающую роль в современной жизни.

1. Больше, чем арифметика

Большинству математических дисциплин, используемых в современной науке и технике, не более трёхсот-четырёхсот лет, а многим из них менее ста лет. Однако типичная программа средней школы включает в себя математику возраст, которой превышает более старый из вышеуказаных периодов, а некоторым разделам более двух тысяч лет!

Нет ничего плохого в том, чтобы учить чему-то настолько старому. Как говорится, если что-то не сломалось, не надо чинить. Алгебра, которую арабоязычные торговцы разработали в VIII и IX веках (слово алгебра происходит от арабского термина аль-джабр, что означает "восстановление" или "воссоединение сломанных частей"), чтобы повысить эффективность своих деловых операций, остаётся такой же полезной и важной сегодня, как и тогда, хотя сегодня мы можем реализовать это в макросе электронной таблицы, а не с помощью средневековых расчётов на пальцах. Но время идёт, общество развивается. В процессе этого возникает и со временем удовлетворяется потребность в новой математике. Образование должно идти в ногу со временем.

Можно сказать, что математика началась с изобретения чисел и арифметики, что, как считается, произошло около десяти тысяч лет назад с появлением денег. (Да, оказывается, всё началось с денег!)

В последующие века древние египтяне и вавилоняне расширили предмет, включив в него геометрию и тригонометрию.¹ В тех цивилизациях математика была в основном утилитарной и в значительной степени напоминала "книгу рецептов". ("Сделайте то-то и то-то с числом или геометрической фигурой, и вы получите ответ.")

Период с около 500 г. до н.э. до 300 г. н.э. был эрой греческой математики. Математики древней Греции особенно высоко ценили геометрию. Действительно, они относились к числам геометрически, как к измерениям длины, и когда они обнаружили, что существуют длины, которым их числа не соответствуют (по сути, это было открытие иррациональных чисел), их изучение чисел в значительной степени остановилось.²

Фактически, именно греки сделали математику областью изучения, а не просто сборником техник для измерения, подсчёта и учёта. Около 500 г. до н.э. Фалес Милетский (Милет сейчас является частью Турции) ввёл идею о том, что точно сформулированные утверждения математики могут быть логически доказаны с помощью формальных аргументов. Это нововведение ознаменовало рождение теоремы, которая теперь является основой математики. Этот формальный подход греков достиг своего апогея в публикации "Начал" Евклида – считающейся самой широко распространённой книгой всех времён после Библии.³

По большому счёту, школьная математика основана на всех тех наработках, которые я перечислил выше, а также всего лишь на двух более поздних достижениях, оба из которых относятся к XVII веку: математический анализ и теория вероятностей. Практически ничего из того, что было создано за последние триста лет, не попало в школьные классы. И всё же большая часть математики, используемой в современном мире, была разработана за последние двести лет, не говоря уже о последних трёхстах!

В результате, любой человек, чьё представление о математике ограничивается тем, что обычно преподаётся в школах, вряд ли по-настоящему оценит, что исследования в области математики – это процветающая всемирная деятельность, или согласится с тем, что математика пронизывает, зачастую в значительной степени, большинство сфер современной жизни и общества. Например, вряд ли многие знают, в какой организации в США работает наибольшее количество докторов наук по математике. (Ответ почти наверняка – Агентство национальной безопасности, хотя точное число сотрудников является тайной. Большинство из этих математиков работают над взломом кодов, чтобы агентство могло читать зашифрованные сообщения, перехватываемые системами мониторинга – по крайней мере, так принято считать, хотя агентство опять же не говорит об этом. Несмотря на то, что большинство американцев, вероятно, знают, что АНБ занимается взломом кодов, многие не осознают, что для этого требуется математика, и поэтому не считают АНБ организацией, которая нанимает большое количество продвинутых математиков.)

Взрыв математической активности, в особенности который произошёл за последние сто лет или около того, был впечатляющим. В начале XX века математику можно было с полным основанием рассматривать как состоящую из около двенадцати различных предметов: арифметики, геометрии, математического анализа и некоторых других. Сегодня количество отдельных категорий составляет от шестидесяти до семидесяти, в зависимости от того, как их считать. Некоторые предметы, такие как алгебра или топология, разделились на различные поднаправления; другие, такие как теория сложности или теория динамических систем, являются совершенно новыми областями изучения.

Резкий рост развития математики привёл в 1980-х годах к появлению нового определения математики как науки о закономерностях. Согласно этому описанию, математик выявляет и анализирует абстрактные закономерности – числовые закономерности, закономерности формы, закономерности движения, закономерности поведения, закономерности голосования населения, закономерности повторения случайных событий и так далее. Эти паттерны могут быть реальными или воображаемыми, визуальными или мысленными, статичными или динамичными, качественными или количественными, утилитарными или развлекательными. Они могут возникать из окружающего нас мира, из научного поиска или из внутренней работы человеческого разума. Различные виды закономерностей дают начало разным разделам математики. Например:

• Арифметика и теория чисел изучают закономерности чисел и счёта.
• Геометрия изучает закономерности формы.
• Математический анализ позволяет нам оперировать закономерностями движения.
• Логика изучает закономерности рассуждений.
• Теория вероятностей имеет дело с закономерностями случайности.
• Топология изучает закономерности близости и положения.
• Фрактальная геометрия изучает самоподобие, встречающееся в природе.

2. Математические обозначения

Один из аспектов современной математики, который очевиден даже для случайного наблюдателя, – это использование абстрактных обозначений: алгебраических выражений, сложных на вид формул и геометрических диаграмм. Использование математиками абстрактных обозначений отражает абстрактную природу закономерностей, которые они изучают.

Различные аспекты реальности требуют разных форм описания. Например, наиболее подходящий способ изучить местность или описать кому-то, как найти дорогу в незнакомом городе, – это нарисовать карту. Текст здесь подойдёт гораздо меньше.

Аналогично, линейные рисунки с аннотациями (чертежи) наиболее подходят для представления конструкции здания. А нотная запись наиболее подходит для представления музыки на бумаге. В случае различных видов абстрактных, формальных �