7 заданий · 2 часа
Решаете задачи и обосновываете переходы. Ответа, полученного вычислительной программой, недостаточно: требуется объяснение. Седьмое задание идёт сверх зачёта и даёт дополнительные баллы.
Онлайн-магистратуры МФТИ Подготовка
Хармфульский клуб любителей математики
Подготовка к вступительному экзамену в онлайн-магистратуру МФТИ
Вопросы экзамена, бесплатные разборы и наши курсы — от школьной базы до высшей математики. Начните с задачи и найдите свой маршрут.
Письменно и устно
К чему готовиться на экзамене
У экзамена «Математика и комбинаторика» две части. В обеих важно уметь объяснить, как вы пришли к ответу.
20–30 минут · устный экзамен
Обсуждаете письменные задания и отвечаете на вопрос из программы устной части. Отдельного времени на подготовку нет.
Разрешённые инструменты и минимальный балл
На письменной части разрешены WolframAlpha, Wikipedia, консоль SymPy и консоль Python. Ход решения всё равно нужно обосновать.
Минимальный итоговый балл для прохождения экзамена — 15.
Попробуйте прямо сейчасОдна задача.
Одна задача.
Уже начало подготовки.
Задание 1.2 из опубликованного пробного варианта. Сначала попробуйте решить самостоятельно, затем раскройте объяснение.
Найдите ранг системы векторов в ℝ⁴
v₁ = (1, 1, 4, 3)
v₂ = (0, 2, 1, 3)
v₃ = (1, 1, 3, 2)
v₄ = (3, 3, 4, 1)
Показать решение и ответ
Ранг — максимальное число линейно независимых векторов в системе.
Четвёртый вектор выражается через первый и третий: v₄ = 8v₃ − 5v₁. Поэтому ранг не больше трёх.
Проверим независимость первых трёх. Пусть av₁ + bv₂ + cv₃ = 0. По первой координате a + c = 0, по второй a + 2b + c = 0. Вычитая, получаем b = 0.
По третьей координате 4a + b + 3c = 0. Подставим b = 0 и c = −a: получаем a = 0, а значит, c = 0. Нулевая комбинация возможна только при нулевых коэффициентах — три вектора независимы.
Ответ: ранг равен 3.
Видеоразбор на Stepik (после бесплатной записи) ↗ · Изучить линейную зависимость в спринте 7 →
Весь пробный вариант на Stepik ↗. Вариант и видео доступны после бесплатной записи на курс.
Проверьте школьную базу
Дроби, уравнения, функции, векторы. В бесплатном тренажёре выберите тему и начните с двух задач диагностики.
Открыть бесплатный тренажёр ↗Попробуйте высшую математику
12 коротких задач входной диагностики «Отряда последней надежды». Первый модуль с задачами и разборами тоже открыт бесплатно.
Пройти входную диагностику ↗Вступительные вопросы → спринтыЧто спрашивают.
Что спрашивают.
Где это разобрать.
Выберите тему, начните с бесплатного материала и переходите к нужному спринту фундаментального курса.
В программе «Математика и комбинаторика» — 26 тем письменной части и 17 тем устной. Это список для подготовки: на письменном экзамене семь заданий, а не 26.
Ниже — сокращённые формулировки программы 2026 года. Полные формулировки — в документе МФТИ ↗. Связь тем со спринтами и разборами составлена командой клуба.
В программе: множества и последовательности · пределы и производные · интегралы и ряды · функции многих переменных · линейная алгебра.
Разборы на Rutube открыты без записи. Материалы письменного варианта на Stepik — после бесплатной записи на курс.
Письменная часть26 тем
| Тема программы экзамена | В курсе |
|---|---|
| 1. Предел функции. Критерий Коши. Определение по ГейнеПример вычисления предела ↗Stepik · после бесплатной записи | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 2. Замечательные пределы | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 3. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Разрывы I и II рода | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 4. Дифференцируемость. Производная. Производные высших порядков | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 5. Правила дифференцирования. Сложная и обратная функция. Таблица | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 6. Возрастание, убывание, экстремумы. Выпуклость и перегибы | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 7. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 8. Формула Тейлора и остаточный член | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 9. Правило Лопиталя | Спринт 2 →Предел функции, непрерывность, производная |
| 10. Функциональные ряды. Равномерная сходимость | Спринт 6 →Ряды и кратные интегралы |
| 11. Почленное дифференцирование и интегрирование рядовПример суммы ряда ↗Stepik · после бесплатной записи | Спринт 6 →Ряды и кратные интегралы |
| 12. Степенные ряды и их сходимостьПример суммы ряда ↗Stepik · после бесплатной записи | Спринт 6 →Ряды и кратные интегралы |
| 13. Неопределённый интеграл. Таблица | Спринт 5 →Интегралы |
| 14. Интеграл Римана. Суммы. Площадь | Спринт 5 →Интегралы |
| 15. Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменной, интегрирование по частям | Спринт 5 →Интегралы |
| 16. Несобственные интегралы I и II рода | Спринт 5 →Интегралы |
| 17. Кратные интегралы. Повторные интегралыЗадача на двойной интеграл ↗Stepik · после бесплатной записи | Спринт 6 →Ряды и кратные интегралы |
| 18. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные координаты. Объём | Спринт 6 →Ряды и кратные интегралы |
| 19. Непрерывность и дифференцируемость функций многих переменных | Спринт 4 →Многомерный анализ |
| 20. Производная по направлению. Градиент | Спринт 4 →Многомерный анализ |
| 21. Формула Тейлора для функций многих переменных | Спринт 4 →Многомерный анализ |
| 22. Линейные отображения. Инвариантные подпространства | Спринт 7 →Линейная алгебра: теория |
| 23. Собственные значения и собственные векторы | Спринт 7 →Линейная алгебра: теория |
| 24. Жорданова нормальная форма | Спринт 7 →Линейная алгебра: теория |
| 25. Ортогональные и унитарные операторы | Спринт 7 →Линейная алгебра: теория |
| 26. Неотрицательные операторы. Квадратный корень из оператора | Спринт 7 →Линейная алгебра: теория |
Устная часть17 тем
| Тема программы экзамена | Бесплатно | В курсе |
|---|---|---|
| 1. Множества. Операции. Декартово произведение. Числовые множества | Множества и операции ↗Rutube · с 00:40 | Спринт 1 →Введение в математический анализ |
| 2. Функции: инъекция, сюръекция, биекция. Мощность. Счётность | Функции и мощность ↗Rutube · с 45:45 | Спринт 1 →Введение в математический анализ |
| 3. Несчётность множества действительных чисел. Счётность рациональных | Счётность и несчётность ↗Rutube · с 00:00 | Спринт 1 →Введение в математический анализ |
| 4. Натуральные числа. Делимость. Простые числа | Делимость и простые числа ↗Rutube · с 39:10 | Спринт 1 →Введение в математический анализ |
| 5. Последовательности. Предел. Бесконечно малые и большие | Последовательности и предел |